「ガロア理論の頂を踏む」読書会 第1回

概要

群論やガロア理論をちゃんと理解したい！！という人のためのオンライン読書会です。 毎月第1、第3水曜日の20:00～22:00にZoomで実施します。 毎週担当を決めて、輪読形式で読み込んでいきます。

数学に特に詳しくない参加者同士で少しづつ知恵を出し合いながら理解していくことを目指しています。 詳しい人も歓迎ですが、全くわからない人も大歓迎です。

スケジュール

2回/月、第1第3水曜日に定期開催

本の選定理由

石井先生の本について本勉強会の別日程で「相対性理論を一歩一歩数式で理解する」を読んでいます。 非常に詳細に書いてくれており、初学者に理解しやすい事、細かく項がわかれていることが輪読に向くこともあり、この本を選定しました。

対象

高校の数学がある程度わかる わからないことを質問してくれる方 (↑より難しいことを前提として話すこともあると思います。 わからないところ、違うと思ったところは声をあげてもらえるかたがありがたいです。誰もがわからない中話しています。）

今回の範囲

1. 最大公約数を求める / ユークリッドの互除法
   担当：osawat

今後の担当：

1. 余りの計算 / 剰余類 : katoteru
2. 正六角形を回転させよう / 巡回群：kau
3. 群が同じということ / 群の同型 ：shimizu
4. 一部の元でも群になる / 部分群 ：reodon
5. 2つの群から群を作る / 群の直積・剰余類群・中間剰余定理：iwatsuru

主催

秋葉原ロボット部 よろしければ Discord にもご登録ください。 https://discord.gg/bqVJS2S (あらかじめ、 Discord のアカウントの用意が必要です。)

本の目次

第1章「整数」：

1. 最大公約数を求める / ユークリッドの互除法
2. 余りの計算 / 剰余類
3. 正六角形を回転させよう / 巡回群
4. 群が同じということ / 群の同型
5. 一部の元でも群になる / 部分群
6. 2つの群から群を作る / 群の直積・剰余類群・中間剰余定理：3枚・( Z/pZ ) の分解
7. 掛け算だって群になる！ / 既約剰余類群
8. ( Z/pZ ) は直積で書けるか？ / 既約剰余類群の構造分解・イデアル関数・既約剰余類の元の個数
9. ( Z/pZ ) は、巡回群である / 原始根で生成
10. 素数 p の原始根は確かにある / 原始根の存在証明
11. 既約剰余類群を解剖する / ( (Z/pZ)^* ) の構造

第2章「群」：

1. 正三角形の対称性を調べる/二面体群
2. 部分群から剰余群を作る / 一般の剰余群
3. 立方体の対称性を調べよう / SP(3)
4. 同型形じゃなくたって / 準同型写像
5. 同型を作ろう / 第2同型定理・第3同型定理
6. あみだくじのなす群 / 対称群
7. 巡回群の入れ子構造 / 可解群

第3章「多項式」:

1. 基本対称式で表そう / 対称式
2. 多項式における素数 / 既約多項式
3. 整数と多項式のアナロジー / 多項式の合同式
4. 既約多項式で割っても体 / ( Q[x]/(f(x)) )

第4章 「複素数」：

1. 2次方程式から複素数が出てくる / 複素数
2. 複素数が活躍する舞台 / 複素平面
3. 円を等分する式 / 1の乗根
4. 1の原始n乗根を根に持つ方程式 / 円分方程式
5. n次方程式には必ず解がある / n次の乗根の共乗
6. nが合成数でも円分多項式は既約 / n分の既約性の証明

第5章 「体と自己同型写像」：

1. 無理数の計算を簡単にしよう / ( \mathbb{Q}(\sqrt{3}) )の対称性
2. この計算どこかで見たぞ / ( \mathbb{Q}[x]/(f(x)) = \mathbb{Q}(\alpha) )
3. 同型はn個 / ( \mathbb{Q}(\alpha_1) = \mathbb{Q}(\alpha_2) = \dots = \mathbb{Q}(\alpha_n) )
4. 体の次元を捉えよう / 線形代数の相互
5. 方程式の解を含む体 / 最小分解体
6. 4次方程式の例 / 中間体
7. 2段拡大 / ( \mathbb{Q}(a, b) )
8. 固定群と固定体が対応してる！ / ガロア対応
9. 拡大体はすべて単拡大体 / ( \mathbb{Q}(a_1, \dots, a_n) = \mathbb{Q}(a) )
10. 同型写像ではみ出ない / ガロア拡大体
11. 2段拡大を証明しよう / 最小分解体の正規性
12. 固定群と固定体が対応してる！ / ガロア対応
13. 拡大体はすべて単拡大体 / ( \mathbb{Q}(a_1, \dots, a_n) = \mathbb{Q}(a) )
14. 同型写像ではみ出ない / ガロア拡大体
15. 2段拡大を証明しよう / 最小分解体の正規性

第6章「根号で表す」：

1. 1の乗根をべき根で表す / 円分方程式の可能性
2. 3次方程式をべき根で解く / 3次方程式の解の公式
3. 3次方程式のガロア対応を調べよう / ベキ根拡大
4. 4次方程式をべき根で解こう / 4次方程式の解の公式
5. 4次方程式のガロア対応を調べよう / 深巡回拡大体
6. 1のべき根の作る体 / 円分体とガロア群
7. ( x^n - a = 0 ) の作る拡大体 / クンマー拡大
8. 巡回拡大は ( x^n = 0 ) で作れる / 巡回体からべき根体を作る
9. ピークの定理に立とう！ / べき根で解ける方程式の条件
10. 5次方程式の解の公式はない / ガロア群が可解群でない方程式

参考

『ガロア理論の頂を踏む』　正誤表 2022/6/14 現在 https://www.beret.co.jp/uploads/2022/12/a133112872fa27db32f140046b7db310.pdf

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